Questa sezione si occupa di teoria degli insiemi, probabilità, calcolo combinatorio e logica matematica. La finalità è quella di fornire le basi per comprendere come probabilità e logica siano strumenti fondamentali nella gestione dell’incertezza e nel ragionamento quotidiano, che vanno dai quiz nei concorsi e test di ingresso fino ai giochi d’azzardo, come scommesse e lotterie. La loro applicazione è trasversale e si estende dalla vita quotidiana fino a discipline più complesse come la statistica e la teoria delle decisioni.

La logica e la probabilità sono due aree fondamentali sia della matematica che della filosofia, diverse ma allo stesso tempo interconnesse tra loro. La logica deve la sua nascita al noto filosofo e scienziato greco Aristotele (384 – 322 a.C.), quando introdusse il concetto di sillogismo, ovvero un ragionamento deduttivo che, a partire da due preposizioni (“Tutti gli uomini sono mortali” e “Socrate è un uomo”), conduce ad una conclusione logica (“Socrate è mortale”). La logica deduttiva si basa dunque su regole di inferenza esatta che garantiscono la verità delle conclusioni quando le premesse sono vere. Infatti, il termine logica deriva dal greco antico logiké, che significa scienza del ragionamento, arte del pensiero. A sua volta, lógos include altri significati, come parola, discorso, argomentazione.

La probabilità, invece, è la disciplina che si occupa di misurare e gestire l’incertezza, quantificando il grado di accadimento di un evento. Il termine probabilità deriva dal latino probabilitas, che significa verosimiglianza, plausibilità, qualcosa che sembra vero o che può essere creduto o approvato (da probare) come tale. La probabilità si è sviluppata con il gioco d’azzardo e, più precisamente, nel 1654 quando, in uno scambio epistolare, i famosi matematici francesi Blaise Pascal (1623 – 1662) e Pierre de Fermat (1601 – 1665) discussero vari problemi legati alla posta nel gioco d’azzardo. Mentre la logica deduttiva studia i principi del ragionamento valido e delle inferenze esatte, la logica induttiva si occupa dell’analisi del ragionamento probabilistico e dell’inferenza basata su evidenze empiriche. Questo tipo di ragionamento sta alla base della statistica inferenziale, nella quale si cerca di fare previsioni o di estrarre conclusioni generali sulla popolazione, a partire dai dati osservati nel campione.

Il legame tra logica e probabilità risiede nel fatto che entrambi i campi si occupano delle inferenze: l’inferenza della logica tradizionale è certa mentre quella della probabilità è incerta. Tuttavia, è possibile integrare queste due discipline per affrontare problemi complessi, combinando il rigore della logica con la capacità della probabilità di gestire l’incertezza dei fenomeni. I loro campi di applicazione sono molteplici, dalla giurisprudenza, per valutare prove e testimonianze, al campo dell’informatica e dell’intelligenza artificiale, per creare linguaggi di programmazione ed algoritmi di apprendimento automatico anche in caso di informazioni incomplete o incerte. Per poi approdare alla teoria delle decisioni, dove la probabilità quantifica i rischi associati alle scelte mentre la logica ne struttura il processo decisionale.

Inoltre, un altro aspetto che accomuna sia la logica sia la probabilità è la teoria degli insiemi, branca della matematica che si occupa della formalizzazione delle nozioni di insieme e appartenenza e dell’analisi delle relazioni tra gli insiemi stessi. Da un lato, i concetti di unione, intersezione e complemento corrispondono ai connettivi logici del linguaggio comune “o”, “e”, “non”, consentendo di combinare proposizioni semplici per formare proposizioni più complesse, mentre dall’altro, i diagrammi di Venn agevolano il calcolo probabilistico, poiché la “dimensione” degli insiemi equivale alla probabilità degli eventi che rappresentano.

In sintesi, la probabilità si occupa di misurare l’aleatorietà degli eventi, mentre la logica si focalizza sulla validità e sulla struttura del ragionamento. In un mondo in cui l’imprevedibilità e caos stanno alla base dei fenomeni che regolano la vita di tutti i giorni, logica e probabilità sono discipline indispensabili per dare ordine e valutare il rischio associato agli eventi quotidiani. Come ci ricorda il noto fisico tedesco Albert Einstein (1879 – 1955), se la logica ci conduce con rigore da un’affermazione A ad un’affermazione B, la probabilità si allontana dalla ferrea dicotomia logica in cui le preposizioni sono solamente vere o false, permettendo così di cogliere anche quelle sfumature fra la certezza e l’impossibilità.